ارتعاش مکانیکی به نوعی از حرکت سیستم‌های دینامیکی اطلاق می‌شود که به صورت نوسانی (رفت و برگشتی) صورت پذیرفته و حرکت در یک بازه زمانی (پریود ارتعاش) تکرار شود. در کنار نوع پریودیک، ارتعاش ممکن است بصورت رندوم رخ بدهد؛ به عنوان مثال حرکت لاستیک ماشین بر روی جاده ناهموار. ارتعاش ممکن است مطلوب باشد مانند ارتعاش گوشی موبایل … ! اما در بسیاری از موارد برای ما مطلوب نیست؛ چرا که باعث اتلاف انرژی و ایجاد صداهای مزاحم می‌شود. به عنوان مثال می‌توان به ارتعاشات تجهیزات مکانیکی (موتورها، پمپ ها و …) اشاره کرد. این ارتعاشات نامطلوب ممکن است بدلایل متعددی همچون عدم بالانس در قسمتهای دوار، اصطکاک غیریکنواخت، و … رخ دهد. از این‌رو برای جلوگیری از وقوع ارتعاشات نامطلوب اولین اقدام توجه و دقت کافی در مرحله طراحی سیستمها و ماشین‌آلات می‌باشد.

انواع ارتعاش

  • ارتعاش آزاد: زمانی اتفاق می‌افتد که یک سیستم مکانیکی با یک ورودی اولیه به حرکت واداشته شده و سپس بصورت آزادانه ارتعاش میکند. در این حالت، سیستم مکانیکی با فرکانس (یا فرکانس های) طبیعی خود ارتعاش کرده و پس از مدت زمانی بدلیل از دست دادن انرژی از حرکت می‌ایستد. نوسان آونگ ساعت (با صرفنظر کردن از مقاومت هوا و اصطکاک) مثالی از ارتعاش آزاد سیستم‌های مکانیکی می‌باشد.

 

  • ارتعاش اجباری: زمانی رخ می دهد که یک عامل خارجی متغیر با زمان (نیرو، جابجایی، یا سرعت) به سیستم مکانیکی اعمال شود. عامل خارجی میتواند پریودیک، غیر پریودیک، پایدار، گذرا، یا رندوم باشد. در عین حال، نوع پریودیک ممکن است هارمونیک یا غیرهارمونیک باشد. برای مثال میتوان به ارتعاش ماشین لباسشویی بخاطر عدم بالانس، ارتعاش ساختمان در اثر زلزله، و … اشاره کرد. ارتعاش اجباری سیستمهای مکانیکی قویا متاثر از مشخصات ارتعاشی عامل خارجی می‌باشد؛ به عنوان مثال در سیستم‌های مکانیکی خطی، فرکانس ارتعاش پایدار سیستم -ناشی از عامل خارجی پریودیک و هارمونیک – برابر با فرکانس عامل خارجی اعمال شده می‌باشد.

 

  •  ارتعاش همراه استهلاک: زمانی اتفاق می‌افتد که انرژی سیستم ارتعاشی در اثر اصطکاک یا سایر عوامل به تدریج از بین می‌رود. در این حالت ارتعاش سیستم (دامنه یا فرکانس) در طول زمان تغییر یا کاهش می‌یابد تا در نهایت سیستم در نقطه تعادل خود متوقف می‌گردد. ارتعاش در اکثر سیستم‌های مکانیکی در اثر وجود عواملی همچون اصطکاک و … همراه با استهلاک می‌باشد.

پارامترهای ارتعاش

  • دامنه (Amplitude): معیاری از شدت ارتعاش است. در حالت کلی، دامنه ارتعاش را می‌توان از طریق سه پارامتر زیر بیان کرد:
  1. جابجایی (Displacement): موقعیت اجزای سیستم را در هر لحظه بدست می‌دهد. واحد جابجایی در سیستم SI متر (m) و در سیستم اینچی، اینچ (in) می‌باشد.
  2. سرعت (Velocity): نرخ تغییرات جابجایی در واحد زمان را نشان می‌دهد. از نظر ریاضی، سرعت مشتق جابجایی است. واحد سرعت در سیستم SI متر بر ثانیه (m/s) و در سیستم اینچی، اینچ بر ثانیه (in/s) می‌باشد.
  3. شتاب (َAcceleration): نرخ تغییرات سرعت در واحد زمان را نشان می‌دهد. از نظر ریاضی، شتاب مشتق سرعت می‌باشد. واحد شتاب در سیستم SI  متر بر مجذور ثانیه (m/s2) و در سیستم اینچی، اینچ بر مجذور ثانیه (in/s2) می‌باشد.

به عنوان مثال و بر اساس پارامتر جابجایی، دامنه یک حرکت ارتعاشی از نوع سینوسی را به سه شکل زیر می‌توان تعیین کرد:

  1. مقدار صفر تا پیک (0 – P)
  2. مقدار پیک تا پیک (P – P)
  3. مقدار‌موثر (RMS)

 

 

 

  • فرکانس (Frequency): معیاری از نرخ تکرار سیکل ارتعاشی در واحد زمان است. یکای اصلی فرکانس یک بر ثانیه (1/s) می باشد که با هرتز (Hz) بیان می شود. سایر واحدهای فرکانس عبارتند از: سیکل بر دقیقه (cpm)، دور بر دقیقه (rpm)

 

 

 

 

  • فاز (Phase): توالی حرکت را نسبت به یک مرجع مشخص می‌سنجد. واحد فاز درجه می‌باشد.

معادلات حاکم بر ارتعاش

  • ارتعاش آزاد

این نوع ارتعاش را در ساده ترین شکل می‌توان با یک جرم و یک فنر شبیه سازی کرد. با القاء یک تغییر مکان اولیه به جرم متصل به فنر و رها کردن آن، حرکت نوسانی رخ می‌دهد که می‌توان دامنه آن را به کمک یک تابع سینوسی بیان نمود.

در این حالت، عموما فرض می گردد ارتعاش آزاد جرم بدون استهلاک انجام می‌پذیرد. بنابراین، نیروی اعمالی Fs بر جرم m متناسب با میزان کشیدگی (یا فشردگی) فنر که با x نشان داده می‌شود، خواهد بود. تناسب مابین نیرو و کشیدگی فنر با ثابت سختی فنر k بصورت زیر بیان می‌شود:

Fs=-kx

که در رابطه فوق علامت منفی بدین خاطر است که نیروی اعمالی توسط فنر همواره در خلاف جهت جابجایی جرم می‌باشد. از طرف دیگر، طبق قانون دوم نیوتن نیروی اعمالی بر یک جرم متناسب با شتاب آن جرم می‌باشد. در این حالت:

Fs=ma=mx

از ترکیب دو معادله فوق، معادله دیفرانسیل ارتعاش آزاد جرم (بدون استهلاک) بصورت زیر استخراج می‌شود:

mx+kx=0

با فرض اینکه ورودی اعمالی به سیستم جرم و فنر فوق یک جابجایی از نوع کششی به اندازه A باشد، حل معادله دیفرانسیل بدست‌آمده چنین خواهد بود:

x(t)=A cos (2π fnt)

حل بدست آمده نشان می دهد سیستم جرم و فنر فوق تحت حرکت نوسانی هارمونیک با دامنه A و فرکانس ارتعاش خواهد کرد که در آن  فرکانس طبیعی سیستم (بدون استهلاک) نامیده می‌شود. مقدار  عبارتست از:

fn=1/2π √(k/m)

نکته: برای ساده سازی روابط، غالبا از پارامتر فرکانس زاویه ای (ω=2πf ) به جای  استفاده می‌شود.

  • ارتعاش آزاد (با استهلاک)

افزوده شدن یک المان مستهلک کننده (از نوع ویسکوز) به سیستم جرم و فنر، باعث میشود علاوه بر نیروی فنر (Fs)، نیروی استهلاکی Fd متناسب با سرعت حرکت جرم v نیز به سیستم اعمال شود. در این حالت، تناسب مابین نیروی استهلاکی و سرعت حرکت جرم با ثابت استهلاک c بصورت زیر بیان می‌شود:

                                             Fd=-cv=-cx

که در رابطه فوق علامت منفی بدین خاطر است که نیروی اعمالی توسط مستهلک کننده همواره در خلاف جهت بردار سرعت جرم می باشد. با در نظر گرفتن همه نیروهای اعمالی به جرم و با استفاده از قانون دوم نیوتن، معادله دیفرانسیل ارتعاش آزاد جرم (با استهلاک) بصورت زیر استخراج می‌شود:

mx+cx+kx=0

حل معادله فوق وابسته به مقدار ضریب استهلاک می‌باشد. در مقادیر کوچک ضریب استهلاک، سیستم ارتعاش خواهد کرد اما به تدریج دامنه آن کم می شود تا متوقف گردد (حالت تحت استهلاک). وقتی مقدار ضریب استهلاک به یک مقدار مشخصی برسد که سیستم دیگر قابلیت نوسان نداشته باشد، اصطلاحا سیستم در حالت استهلاک بحرانی قرار داشته و ضریب استهلاک در این حالت مقدار بحرانی خود را دارا می باشد ( c-cr). برای مقادیر ضریب استهلاک بالاتر از مقدار بحرانی، سیستم در حالت فوق استهلاک قرار خواهد داشت. مقدار ضریب استهلاک بحرانی برای سیستم جرم و فنر (با استهلاک) از رابطه زیر بدست می آید:

c_cr=2√km

بطور کلی برای بیان میزان استهلاک در یک سیستم از پارامتری به نام نسبت استهلاک (یا فاکتور استهلاک) استفاده می‌شود. نسبت استهلاک عبارتست از نسبت ضریب استهلاک سیستم ( c) به ضریب استهلاک بحرانی آن سیستم ( c_cr). نسبت استهلاک با نماد ζ نشان داده‌شده و مقدار آن برای سیستم جرم و فنر (با استهلاک) برابر است با:

ζ=c/2√km

با بکارگیری نسبت استهلاک ζ، حل معادله دیفرانسیل ارتعاش آزاد جرم (با استهلاک) برای یک سیستم جرم و فنر در حالت تحت استهلاک -که مقدار جابجایی اولیه A بدان اعمال‌شده – بصورت زیر خواهد بود:

(x(t)=Ae^(-ζω_nt)cos (√1-ζ^2ω_n t -φ

که در آن ω_n=2πf_n بوده و φ (شیفت فاز) بر اساس مقدار جابجایی اولیه جرم (یا فنر) محاسبه می‌شود  براساس حل بالا، مقدار دامنه ارتعاش با ضریب e^(-ζω_n t) کاهش می‌یابد؛ یعنی هرچه نسبت استهلاک بزرگتر باشد، دامنه سریعتر به صفر می‌رسد. همچنین، عبارت مثلثاتی cos (√(1-ζ^2)ω_n t-φ) نوسان سیستم را نشان می‌دهد که در آن فرکانس ارتعاش عبارتست از:

f_d=f_n √1-ζ^2

در رابطه فوق f_d فرکانس طبیعی استهلاکی سیستم نامیده‌می‌شود. با توجه به این رابطه فرکانس طبیعی استهلاکی سیستم از فرکانس طبیعی (غیر استهلاکی) آن کمتر است. البته، با توجه به اینکه نسبت استهلاک در بسیاری از سیستم‌ها مقدار پایینی دارد، تفاوت این دو فرکانس در نظر گرفته نمی‌شود.

  •  ارتعاش اجباری (با استهلاک)

زمانی که سیستم جرم و فنر دارای المان مستهلک کننده (از نوع ویسکوز) تحت عامل محرک خارجی (اجباری) قرار گیرد، رفتار متفاوتی را از خود نشان خواهد داد. با فرض اینکه عامل محرک یک نیروی هارمونیک بصورت زیر باشد:

                                              F=F0 sin (2πft)

در نظر گرفتن همه نیروهای اعمالی به جرم m منجر به معادله دیفرانسیل زیر خواهد شد:

mx+cx+kx=F0 sin (2πft)

حل پایدار معادله فوق عبارتست از: x(t)=X sin (2πft+φ)

حل بدست‌آمده نشان می‌دهد سیستم با دامنه X،  تحت فرکانس نیروی اعمالی (بارگذاری خارجی) و با اختلاف فاز  به ارتعاش خواهد پرداخت. مقدار دامنه X از رابطه زیر محاسبه می شود:

2^X=F0/k * 1/√(1-r^2)^2+(2ζr)

که در آن،r نسبت فرکانس نیروی اعمالی به فرکانس طبیعی سیستم (بدون استهلاک) می‌باشد؛ یعنی: r=f/f_n

همچنین، اختلاف فاز طبق رابطه (φ=arctan (2ζr/1-r^2 بدست می‌آید. مقادیر دامنه و اختلاف فاز (φوx) مهمترین پارامترهای مورد استفاده برای مطالعه سیستم های ارتعاشی تحت بارهای خارجی می باشند. این پارامترها عموما در قالب نمودارهای پاسخ فرکانسی سیستم نمایش داده‌می‌شوند.

بررسی نمودارهای مذکور نشان می‌دهد در سیستم‌های با استهلاک پایین زمانی که فرکانس بارگذاری خارجی به فرکانس طبیعی سیستم نزدیک می‌باشد (r≈1)،دامنه ارتعاشات سیستم به سمت مقادیر بزرگ میل می‌کند. این پدیده اصطلاحا تشدید (رزونانس) نامیده‌می‌شود. طبق این تعریف، فرکانس طبیعی یک سیستم فرکانس رزونانس آن نامیده‌می‌شود. در سیستم های دورانی، سرعت دورانی متناظر با فرکانس طبیعی سیستم با عنوان سرعت دورانی بحرانی بیان می‌شود. وقوع رزونانس در یک سیستم ارتعاشی می‌تواند به شدت خطرناک و مضر باشد؛ چرا که منجر به از کار افتادگی ناگهانی سیستم می‌شود.

یکی از دلایل آنالیز ارتعاشات سیستم‌های مکانیکی پیش بینی وقوع رزونانس و بررسی راه‌های جلوگیری از آن می‌باشد. نمودار دامنه ارتعاش نشان می‌دهد در نظر گرفتن مستهلک‌کننده در یک سیستم ارتعاشی تا حد زیادی از مقدار دامنه ارتعاش می‌کاهد. همچنین، دامنه ارتعاشات را می‌توان با جابجایی فرکانس طبیعی سیستم (با تغییر سختی (Stiffness) یا جرم سیستم) و یا با جابجایی فرکانس بارگذاری خارجی (به عنوان مثال با تغییر سرعت دورانی سیستم) کاهش داد.

– مطالب مطرح‌شده در اینجا شامل حالات پایه ارتعاشات سیستم جرم و فنر می‌باشد. مباحث مربوط به سیستم‌های ارتعاشی با درجات آزادی بالاتر در منابع مربوطه در دسترس می‌باشد.

 

دانلود مقاله آنالیز ارتعاشات (Vibration Analysis)

print